Rectangle més barat

RECTANGLE MÉS BARAT:

1·El valor màxim de la base és de 11,34cm

   El mínim és 0,05cm

2·El perímetre mínim és de 8,94 cm (base=2,22cm i alçaria=2,25cm)

Base	Alçària	Perímetre
0,5	9,69	20,41
1	4,96	11,93
1,5	3,33	9,66
2	2,51	8,99
2,5	1,99	9

 

3	1,67	9,34
3,5	1,43	9,85
4	1,25	10,51
4,5	1,11	11,23
5	1	11,99

 

5,5	0,91	12,84
6	0,83	13,67
6,5	0,77	14,53
7	0,71	15,45
7,5	0,67	16,34
8	0,63	17,25

8,5	0,59	18,16
9	0,56	19,12
9,5	0,53	20,05
10	0,49	21,03
10,5	0,48	21,96

 

L’ùnica fòrmula que creec que sobte després de fer les gràfiques al geogebra és que: (+base=-alçària)

FIGURES PLANES

LA FIGURA PLANA MÉS ECONOMICA:

En aquesta activitat ens plantejem quina de les figures planes (triagles,pentagons...) amb la mateixa àrea té el menor perímetre possible. A l’activitat totes les figures tenen 5cm2 d’àrea i quan modifiquem el botó lliscant i fem augmentar el nombre de costats de la figura, observem que el perímetre va disminuint fins arribar a la figura de 20 costats que és la que menys perímetre té de totes estes.

Aquesta figura ( que o se el seu nom) és una figura plana de vint costats, però quasi diriem que no en té ja que quan l’observem la seua estructura és quasi com la d’un cercle. És quasi redona, quasi perfecta diriem

Figura plana perfecta: EL CERCLE

LA MILLOR FIGURA PLANA:         

La millor figura plana de totes és aquella la qual amb el mateix perímetre (mínim o màxim) aconsegueix tindre la major àrea d’entre totes. Després de fer l’estudi de’algunes figures planes he arribat a la conclusió que la millor figura plana és aquella que més costats hi té, és a dir, que amb un mateix perímetre la figura que més costats té és la que aconsegueix major àrea. Un exemple seria comparar el triangle (3 costats) amb un hexagon (6costats), el perímetre de les dos anem a imaginar que és : triangle=10cm i hexagon=10. Doncs seguint l’estudi, hi veiem el que he estat explicant, que la figura amb més costasts té major àrea:  Àrea triangle = 4.81 cm2 i hexagon = 7,22cm2.

 

Doncs d’entre totes les figures planes la millor sens dubte seria: el cercle. Vaig a posar un exemple clar y que ens podria també ajudar-nos a aclarir-lo. Al libre de “PLANILANDIA” (Edwin A.Abott) la societat està organitzada per classes socials i segons el teu nombre de costats ( més o menys) eres classe baixa o eres classe baixa. Doncs açò ve per que els atls càrrecs a “PLANILANDIA” són els cercles, considerats la perfecció de la societat. Tot açò vé per que segons el nostre estudi és el cercle la figura perfecta, que amb un perímetre igual a la resta aconsegueix la major àrea.


TAULES:

TRIANGLE	3 costats	4.81 cm2
QUADRAT	4	6.25cm2
PENTAGON	5	6.88cm2
HEXAGON	6	7.22cm2
HEPTAGON	7	7.42cm2
OCTAGON	8	7.54cm2
ENECAGON	9	7.63cm2
DECAGON	10	7.69cm2

DODECAGON	12	7.78cm2
	20	7.89cm2

Triangle més econòmic

El triangle té àrea 5 cm2. Pots modificar la longitud de la base amb el botó lliscant (l'alçària queda determinada per l'àrea).
També pots moure el punt D (es manté sempre la mateixa alçària).

·                     Mantín fixa la base, mou D. Quin triangle té el menor perímetre?

·                     Canvia el valor de la base. Quin triangle té el menor perímetre?

RESPOSTA:

      1· Mantenint fixa la base i mouent D el triangle que sorgeix amb menor perímetre és el triangle isòceles:

BASE= 2cm      ALÇARIA=5cm  PERÍMETRE= 12,2 cm

2· Al canviar el valor de la base el triangle que té el menor perímetre és el triangle equilater:

BASE= 3,5cm      ALÇARIA=2,86cm  PERÍMETRE= 10,21 cm 

Segona part (optimitzar)

Optimitzar (segona part)

Bé, ja vàrem treballar el fet que polígons que mantenien el mateix perímetre definien regions amb àrea variable, i com era possible que aquesta àrea fóra màxima.
Ara us plantege la segona part del repte: tenim polígons amb la mateixa àrea. N'hi haurà algun entre ells que tinga perímetre mínim?

RESPOSTA:

En aquesta activitat d’optimitzar acì plantejada l’àrea és sempre la mateixa per tant el que varia és el perimetre. Abans era a l’inrevés, lliscant els punts variavem l’àrea però el perímetre quedava sempre igual. Procedim:

 En aquest cas doncs és clar que hi haurà una figura que variant arees tinga perímetre mínim. Per començar hi ha que tindre clar que la figura que té més costats, és la que té més perímetre, per tant el cercle seria la màxima expressió en quant a perímetre es diu.

Doncs segons aquesta realitat seria el triangle qui tendria perímetre mínim per que és la figura geomètrica la qual té menys costats (3). Podriem profunditzar més per vòre quin triangle sería el més apropiat però creec que la resposta és clara: triangle equilater.

Doncs la figura que amb àrea invariable tindria el perímetre mínim seria el triangle ja que és la figura geomètrica que menys costats té. És aixina per que està escrit que quan més costats té una figura geomètrica, més perímetre té.

                  

VARIES D'OPTIMITZAR

          OPTIMITZAR TRIANGLES:

      ·Amb longitud 2cm en costat “b”, variant “a”, arribem a la conclusió que el triangle que es forma amb major àrea és el triangle equilater. Amb 3,87cm2

· El mateix s’observa amb longitud 3 cm. És el triangle equilater amb 4,7cm2     qui te major àrea. A=3,5cm.

·Sempre observem el mateix. És el triangle equilater amb el qual s’observa la major àrea si variem “b” i “a”.

         OPTIMITZAR RECTANGLES:

      ·Al variar b i observar les arees ens adonem que amb “b=2,5cm” trobem l’àrea més gran de totes les    figures. Eixa figura és un quadrat

              OPTIMITZAR PENTAGONS:

      ·El pentagon amb major àrea és aquell que té (com a àrea) 6,88cm2 i la seua         figura és el pentagon regular i la seua àrea és la més gran.

TAULES D’OPTIMITZAR RECTANGLES:

BASE	ALÇARIA	ÀREA cm2
1	4	4
1,1	3,9	4,29
1,2	3,8	4,56
1,4	3,6	5,04
1,6	3,4	5,44
1,8	3,2	5,76
2	3	6
2,2	2,8	6,16
2,4	2,6	6,24
2,6	2,4	6,24

 

BASE	ALÇARIA	ÀREA
2,8	2,2	6,16
3	2	6
3,2	1,8	5,76
3,4	1,6	5,44
3,6	1,4	5,04
3,8	1,2	4,56
4	1	4
4,2	0,8	3,36
4,4	0,6	2,64
4,6	0,4	1,84

M.C.Escher

Maurits Cornelis Escher, més conegut com Escher, va ser un artista holandés que va viure al llarg del        segle XX. El seu art consistia a plasmar mons sortits de la seua imaginació i dibuixos impossibles o amb formes inversemblants, que produïa forts sentiments d’admiració sobre ments matemàtiques i físiques.

Sense ser matemàtic ni haver estudiat la matèria, Escher va ser catalogat com un artista amb clars pensaments matemàtics. Desenvolupà nombrosos treballs en  camps de la geometria, la perspectiva, les ombres, les dimensions i en la divisió del pla en figures iguals. 

La identitat d’Escher com a artista és difícil a descriure o simplement a nomenar. No es tracta d’un artista que vol explicar o descriure sobre un llibre o un poema el que sent, Escher simplement es dedica a plasmar sobre paper o sobre un quadre allò qui li atreu , li agrada o simplement imagina. Les seues obres expressen i sobreixen d’ imaginació, amb jocs visuals i figures impossibles les quals produïen en la gent que les observava un sentiment d’abstractivitat i irrealisme xocant. És per això, per eixe joc d’engany, que desperta un gran interès entre matemàtics que cataloguen les seues obres com meravelles abstractes que expliquen o introdueixen principis matemàtics importants  com la geometria.